3D游戏与计算机图形学中的数学方法-变换

1变换

在3D游戏的整个开发过程中,通常需要以某种方式对一系列的向量进行变换。通常用到的变换包括平移,缩放和旋转。

1.1通用变换

通常可将n x n可逆矩阵M看成是一个从坐标系到另一个坐标系的变换矩阵。M的列给出了坐标系从原坐标系到新坐标系的映射。例如M是一个n x n可逆矩阵,当M与向量(1,0,0),(0,1,0)和(0,0,1)相乘时,可以得到

类似地,M-1的列给出了坐标轴从新坐标轴系到原坐标轴系的映射。这样对于任意给定的线性无关的向量U,V,W可以构造一个变换矩阵,该矩阵将这些向量映射到向量(1,0,0),(0,1,0)和(0,0,1)。

多个变换可以串联起来,并且可以将多个变换矩阵的乘积用一个矩阵来表示。假设需要先用矩阵M后用矩阵G对一个对象进行变换,由于乘积满足结合律,对于任意向量P都有G(MP)=(GM)P,因此只需存储GM的乘积得到的矩阵,将该矩阵作为对象的变换矩阵即可。这样就可以对定点进行多次变换,而存储空间不变。

正交矩阵是一种其转置矩阵等于其逆矩阵的矩阵。正交矩阵只能用于表示旋转和反射的组合。

反射指在某一方向上将点进行镜像的一种运算。例如,矩阵

以xy平面为对称面对一点的z坐标进行反射。

手向性

在三维空间中,有3D向量V1,V2,V3构成的坐标系的基&具有手向性。对于右手基,有(V1*V2). V3>0。也就是说,在一个右手坐标系中,v1,v2的叉积的方向与v3的方向形成一个锐角。如果&是一个正交规范的右手基,则有v1*v2=v3。若(v1*v2).v3<0,那么&是左手基。

进行奇数次反射操作就会改变手向性,偶数次反射相当于一次旋转。通过观察3x3矩阵的行列式,就可以判定矩阵是否存在反射。若M的行列式是负的,则存在反射,用M对任意基的向量进行变换操作后,基的手向性都会发生改变。如果行列式是正的,那么M不改变手向性。

正交矩阵M的行列式的值只能是1或-1.若detM=1,矩阵M只存在旋转;如果为1,那么M表示旋转之后再进行一次反射。

1.2缩放变换

简单来说,对于统一缩放可以理解为向量P乘以一个常数a,即P’ = aP。在三维空间里可以用矩阵的乘积表示。

如果是在xyz轴以不同的值进行缩放向量,那么可以这种缩放为非统一缩放。

如果在3个任意轴上进行非统一缩放,就要用到复杂的缩放过程。假设以系数a沿U轴方向,以系数b沿V轴方向,以系数c沿W轴方向进行缩放,可以先从坐标系(U,V,W)变换到坐标系(i,j,k),然后在(i,j,k)坐标系进行缩放运算,最后在还原到(U,V,W)坐标系。

1.3旋转变换

首先讲一下在二维平面上的旋转,也就是在平面直角坐标系上进行旋转。假设一个向量P(Px,Py),要想求得相对于它自身旋转a度角后的向量P’。我们就需要根据P逆时针旋转90度得到其正交的向量Q(-Py,Px)。可以将P,Q看做该坐标系的一对正交基,则P’可以被P和Q表示为:

P’ = Pcosa + Qsina; (1)

可以确定P’的x,y分量为:

可以改写成矩阵的形式:

引申一下:将单位矩阵的第三行和第三列加入P’矩阵中可得:

,该矩阵是绕z轴的三维旋转。

同样可以得到绕x轴和y轴旋转角度的3x3旋转矩阵。

绕任意轴旋转

假设向量P绕一个任意轴旋转Θ角,这里的任意轴以单位向量A表示,可以将向量P分解为垂直于和平行于A的分量P1, P2。由于平行分量P2在平行于A,则在旋转过程中保持不变,主要求的是P1的旋转。

由于A是一个单位向量,对于P在A上的投影,可以表示为:projAP = (A.P)A;

P垂直于A的分量可表示为:perpAP = P – (A.P)A;

现将垂直于A的分量进行旋转,然后加上projAP就可以得到最终的旋转结果。

垂直分量的旋转是如何得到的呢?

垂直分量的旋转是在垂直于A轴的平面内进行的。可以用perpAP与perpAP逆时针方向旋转9度所形成的向量的线性组合来表示旋转后的向量。如上图所示,假设a是原向量P和A轴之间的夹角。perpAP的长度等于||P||sina,那么perpAP绕A轴逆时针旋转90度的向量perpAP’就是A与P的叉积。

那么perpAP旋转Θ角可以表示为:[P-(A.P)A]cosΘ + (A x P)sinΘ (2)

(2)式的推出可以参考(1)式。

加上projAP = (A.P)A,就可以得到P绕A轴的旋转公式:

P’ = PcosΘ + (A x P)sinΘ + A(A.P)(1-cosΘ);  (3)

 

将(3)式换成矩阵的表达形式:

合并公式中的相同项,令C=cosΘS=sinΘ,得到表示向量绕A轴旋转Θ角的旋转矩阵RA(Θ).

1.4齐次坐标

关于平移操作,不能用3 x 3矩阵表示,把点P从一个坐标系平移到另一个坐标系,只需要简单地添加偏移向量,不会影响到坐标轴的方向和尺度。

P’ = MP + T      (4)

其中M为3 x 3可逆矩阵,T是3D平移向量。利用(4)式进行两次操作可得到:

(5)

若是要进行n次操作时,必须知道每次变换过程中的矩阵分量MnMn-1和平移分量MnTn-1+Tn

我们利用四维变换可以将M和T统一起来,就可以建立一个四维4 x 4矩阵来表示平移操作。方法是给3D点P增加一个坐标,并将这个扩展的第四个坐标称之为w坐标,其值设为1。

(6)

将矩阵F乘以向量(Px,Py,Pz,1),就等价于(4)式对向量的x,y,z坐标进行变换,同时保持w为1。

从公式(4)中可以解出  (7)

因此可以从公式(6)中得到4 x 4矩阵F的逆矩阵F-1为:

(8)

可以验证(8)式的正确性:

时间: 09-01

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