自相关函数怎么理解,为什么定义中有共轭,卷积呢。定义中的卷积,共轭有什么意义?尤其是在信号处理方面

知乎上有解答,相当经典:https://www.zhihu.com/question/24687047

简洁地解释如下:

1) 首先我们仅考虑实信号。

自相关的直观含义就是:把一个信号平移一段距离,跟原来有多相似。

于是就有了自相关的定义:

它代表了“移、乘、积”这三步操作。

如果只谈自相关,其实到此就可以结束了。

只不过,在信号处理领域中还有一个叫“卷积”的东西,在别的地方(已知线性时不变系统的冲激响应和输入,求响应)有用。

它跟自相关的定义很相似,包含了“卷、移、乘、积”四步操作:

左边有时也写作,表示这个函数是由x(t)和y(t)卷积而得的,但它的自变量是

我们发现卷积比自相关多了一步“卷”的操作,为了去掉这个多余的操作,我们先把原信号自己卷一下,就可以抵消掉卷积中的“卷”操作了。这就是自相关与卷积的关系:

2) 现在扩展到复数域。

自相关是要刻画一个信号平移后与原始信号的相似性。显然,不平移时应该是最相似的。

我们希望x(t)与x(t)本身相乘后积分时,各时间点的值能够因叠加而增强。

在实数域上x(t)直接自乘没有问题。

在复数域上,x(t)自乘后辐角还是乱的。

如果对其中一个x(t)取一下共轭,相乘后辐角就统一变成0了,积分时就能够取得叠加增强的效果。

所以在复数域上,自相关是这样的:

(共轭取在前者还是后者上都可以,取决于作者的习惯)

扩展一下,复数域上线性空间的内积的定义中也有共轭,其动机与此处相同。“相关”这个运算其实就是一种内积。

时间: 06-14

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