【转】 背包问题——“完全背包”详解及实现(包含背包具体物品的求解)

完全背包是在N物品中选取若干件(同一种物品可多次选取)放在空间为V的背包里,每物品的体积为C1,C2,…,Cn,与之相对应的价值为W1,W2,…,Wn.求解怎么装物品可使背包里物品总价值最大。

动态规划(DP):

1) 子问题定义:F[i][j]表示前i物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值。

2) 根据第i物品放多少件进行决策

     (备注:应该还有一项f[i-1][j])        (2-1)

其中F[i-1][j-K*C[i]]+K*W[i]表示前i-1物品中选取若干件物品放入剩余空间为j-K*C[i]的背包中所能得到的最大价值加上k件第i物品;

设物品种数为N,背包容量为V,第i物品体积为C[i],第i物品价值为W[i]。

与01背包相同,完全背包也需要求出NV个状态F[i][j]。但是完全背包求F[i][j]时需要对k分别取0,…,j/C[i]求最大F[i][j]值,耗时为j/C[i]。那么总的时间复杂度为O(NV∑(j/C[i]))

由此写出伪代码如下:

[cpp] view plaincopy

  1. F[0][] ← {0}
  2. F[][0] ← {0}
  3. for i←1 to N
  4. do for j←1 to V
  5. do for k←0 to j/C[i]
  6. if(j >= k*C[i])
  7. then F[i][k] ← max(F[i][k],F[i-1][j-k*C[i]]+k*W[i])
  8. return F[N][V]

以上伪代码数组均为基于1索引,即第一件物品索引为1。空间复杂度O(VN)、时间复杂度为O(NV∑(j/C[i]))

        简单优化:

若两件物品满足C[i] ≤C[j]&&W[i] ≥W[j]时将第j种物品直接筛选掉。因为第i种物品比第j种物品物美价廉,用i替换j得到至少不会更差的方案。

这个筛选过程如下:先找出体积大于背包的物品直接筛掉一部分(也可能一种都筛不掉)复杂度O(N)。利用计数排序思想对剩下的物品体积进行排序,同时筛选 出同体积且价值最大的物品留下,其余的都筛掉(这也可能一件都筛不掉)复杂度O(V)。整个过程时间复杂度为O(N+V)

       转化为01背包:

因为同种物品可以多次选取,那么第i种物品最多可以选取V/C[i]件价值不变的物品,然后就转化为01背包问题。整个过程的时间复杂度并未减少。如果把第i种物品拆成体积为C[i]×2k价值W[i]×2k的物品,其中满足C[i]×2k≤V。那么在求状态F[i][j]时复杂度就变为O(log2(V/C[i]))。整个时间复杂度就变为O(NVlog2(V/C[i]))

时间复杂度优化为O(NV)

将原始算法的DP思想转变一下。

设F[i][j]表示出在前i种物品中选取若干件物品放入容量为j的背 包所得的最大价值。那么对于第i种物品的出现,我们对第i种物品放不放入背包进行决策。如果不放那么F[i][j]=F[i-1][j];如果确定放,背 包中应该出现至少一件第i种物品,所以F[i][j]种至少应该出现一件第i种物品,即F[i][j]=F[i][j-C[i]]+W[i]。为什么会是 F[i][j-C[i]]+W[i]?因为F[i][j-C[i]]里面可能有第i种物品,也可能没有第i种物品。我们要确保F[i][j]至少有一件第 i件物品,所以要预留C[i]的空间来存放一件第i种物品。

状态方程为:

          (2-2)

伪代码为:

[cpp] view plaincopy

  1. F[0][] ← {0}
  2. F[][0] ← {0}
  3. for i←1 to N
  4. do for j←1 to V
  5. F[i][j] ← F[i-1][j]
  6. if(j >= C[i])
  7. then F[i][j] ← max(F[i][j],F[i][j-C[i]]+ W[i])
  8. return F[N][V]

具体背包中放入那些物品的求法和01背包情况差不多,从F[N][V]逆着走向F[0][0],设i=N,j=V,如果F[i][j]==F[i][j- C[i]]+W[i]说明包里面有第i件物品,同时j -= C[i]。完全背包问题在处理i自减和01背包不同,01背包是不管F[i][j]与F[i-1][j-C[i]]+W[i]相不相等i都要减1,因为 01背包的第i件物品要么放要么不放,不管放还是不放其已经遍历过了,需要继续往下遍历而完全背包只有当F[i][j]与F[i-1][j]相等时i才自 减1。因为F[i][j]=F[i-1][j]说明背包里面不会含有i,也就是说对于前i种物品容量为j的背包全部都放入前i-1种物品才能实现价值最大 化,或者直白的理解为前i种物品中第i种物品物不美价不廉,直接被筛选掉。

打印背包内物品的伪代码如下:

[cpp] view plaincopy

  1. i←N
  2. j←V
  3. while(i>0 && j>0)
  4. do if(F[i][j]=F[i][j-C[i]]+W[i])
  5. then Print W[i]
  6. j←j-C[i]
  7. else
  8. i←i-1

和01背包一样,也可以利用一个二维数组Path[][]来标记背包中的物品。开始时Path[N][V]初始化为0,当 F[i][j]==F[i][j-C[i]]+W[i]时Path[i][j]置1。最后通过从Path[N+1][V+1]逆着走向Path[0] [0]来获取背包内物品。其中Path[0][]与Path[][0]为边界。同样,在打印路径的时候当Path[][]=1时,打印 W[i];Path[][]=0时i自减1.

加入路径信息的伪代码如下:

[cpp] view plaincopy

  1. F[0][] ← {0}
  2. F[][0] ← {0}
  3. Path[][] ← 0
  4. for i←1 to N
  5. do for k←1 to V
  6. F[i][k] ← F[i-1][k]
  7. if(k >= C[i] && F[i][k] < F[i][k-C[i]]+W[i])
  8. then F[i][k] ← F[i][k-C[i]]+W[i]
  9. Path[i][k] ← 1
  10. return F[N][V] and Path[][]

打印背包内物品的伪代码如下:

[cpp] view plaincopy

  1. i←N
  2. j←V
  3. while(i>0 && j>0)
  4. do if(Path[i][j]=1)
  5. then Print W[i]
  6. j←j-C[i]
  7. else
  8. i←i-1

优化空间复杂度为O(V)

和01背包问题一样,完全背包也可以用一维数组来保存数据。算法样式和01背包的很相似,唯一不同的是对V遍历时变为正序,而01背包为逆序。01背包中逆序是因为F[i][]只和F[i-1][]有关,且第i的物品加入不会对F[i-1][]状态造成影响。而完全背包则考虑的是第i物品的出现的问题,第i种物品一旦出现它势必应该对第i种物品还没出现的各状态造成影响。也就是说,原来没有第i种物品的情况下可能有一个最优解,现在第i种物品出现了,而它的加入有可能得到更优解,所以之前的状态需要进行改变,故需要正序。

状态方程为:

          (2-3)

伪代码如下:

[cpp] view plaincopy

  1. F[] = {0}
  2. for i←1 to N
  3. do for k←C[i] to V
  4. F[k] ← max(F[k],F[k-C[i]]+W[i])
  5. return F[V]

具体背包中放入那些物品的求法和上面空间复杂度为O(NV)算法一样,用一个Path[][]记录背包信息。但这里面是当F[i]=F[i-C[i]]+W[i]时将Path置1.

伪代码如下:

[cpp] view plaincopy

  1. F[0][] = {0}
  2. F[][0] = {0}
  3. Path[][] ← 0
  4. for i←1 to N
  5. do for k←C[i] to V
  6. if(F[i] < F[k-C[i]]+W[i])
  7. then F[i] ← F[k-C[i]]+W[i]
  8. Path[i][k] ← 1
  9. return F[N][V] and Path[][]

打印路径的伪代码和前面未压缩空间复杂度时的伪代码一样,这里不再重写。

举例:表2-1为一个背包问题数据表,设背包容量为10根据上述解决方法可得到对应的F[i][j]如表2-2所示,最大价值即为F[6][10].

表2-1背包问题数据表

物品号i 1 2 3 4 5 6
体积C 3 2 5 1 6 4
价值W 6 5 10 2 16 8

表2-2前i件物品选若干件放入空间为j的背包中得到的最大价值表

  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 6 6 6 12 12 12 18 18
2 0 0 5 6 10 11 15 16 20 21 25
3 0 0 5 6 10 11 15 16 20 21 25
4 0 2 5 7 10 12 15 17 20 22 25
5 0 2 5 7 10 12 16 18 21 23 26
6 0 2 5 7 10 12 16 18 21 23 26

下面针对前面提到的表2-1提供两种方法的测试代码:

 

[cpp] view plaincopy

  1. #include <iostream>
  2. #include <cstring>
  3. #include "CreateArray.h"        //该头文件用于二维数组的创建及销毁,读者自己实现
  4. using namespace std;

//时间复杂度O(VN),空间复杂度为O(VN)

[cpp] view plaincopy

  1. int Package02(int Weight[], int Value[], int nLen, int nCapacity)
  2. {
  3. int** Table = NULL;
  4. int** Path = NULL;
  5. CreateTwoDimArray(Table,nLen+1,nCapacity+1);    //创建二维数组
  6. CreateTwoDimArray(Path,nLen+1,nCapacity+1); //创建二维数组
  7. for(int i = 1; i <= nLen; i++)
  8. {
  9. for(int j = 1; j <= nCapacity; j++)
  10. {
  11. Table[i][j] = Table[i-1][j];
  12. if(j >= Weight[i-1] && Table[i][j] < Table[i][j-Weight[i-1]]+Value[i-1])
  13. {
  14. Table[i][j] = Table[i][j-Weight[i-1]]+Value[i-1];
  15. Path[i][j]=1;
  16. }
  17. }
  18. }
  19. int i = nLen, j = nCapacity;
  20. while(i > 0 && j > 0)
  21. {
  22. if(Path[i][j] == 1)
  23. {
  24. cout << Weight[i-1] << " ";
  25. j -= Weight[i-1];
  26. }
  27. else
  28. i--;
  29. }
  30. cout << endl;
  31. int nRet = Table[nLen][nCapacity];
  32. DestroyTwoDimArray(Table,nLen+1);   //销毁二维数组
  33. DestroyTwoDimArray(Path,nLen+1);    //销毁二维数组
  34. return nRet;
  35. }

//时间复杂度O(VN),不考虑路径空间复杂度为O(V),考虑路径空间复杂度为O(VN)

[cpp] view plaincopy

  1. int Package02_Compress(int Weight[], int Value[], int nLen, int nCapacity)
  2. {
  3. int * Table = new int [nCapacity+1];
  4. memset(Table,0,(nCapacity+1)*sizeof(int));
  5. int** Path = NULL;
  6. CreateTwoDimArray(Path,nLen+1,nCapacity+1);     //创建二维数组
  7. for(int i = 0; i < nLen; i++)
  8. {
  9. for(int j = Weight[i]; j <=nCapacity; j++)
  10. {
  11. if(Table[j] < Table[j-Weight[i]]+Value[i])
  12. {
  13. Table[j] = Table[j-Weight[i]]+Value[i];
  14. Path[i+1][j] = 1;
  15. }
  16. }
  17. }
  18. int i = nLen, j = nCapacity;
  19. while(i > 0 && j > 0)
  20. {
  21. if(Path[i][j] == 1)
  22. {
  23. cout << Weight[i-1] << " ";
  24. j -= Weight[i-1];
  25. }
  26. else
  27. i--;
  28. }
  29. cout << endl;
  30. int nRet = Table[nCapacity];
  31. DestroyTwoDimArray(Path,nLen+1);    //销毁二维数组
  32. delete [] Table;
  33. return nRet;
  34. }

测试代码:

[cpp] view plaincopy

  1. int main()
  2. {
  3. int Weight[] = {3,2,5,1,6,4};
  4. int Value[] =  {6,5,10,2,16,8};
  5. int nCapacity = 10;
  6. cout << Package02(Weight,Value,sizeof(Weight)/sizeof(int),nCapacity) << endl;
  7. cout << Package02_Compress(Weight,Value,sizeof(Weight)/sizeof(int),nCapacity) << endl;
  8. return 0;
  9. }

本文部分内容参考“背包九讲”

转自http://blog.csdn.net/wumuzi520/article/details/7014830 感谢!

时间: 04-11