SG函数

转自:Angel_Kitty

Sprague-Grundy定理(SG定理):

游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。这样就可以将每一个子游戏分而治之,从而简化了问题。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戏中的直接应用,因为单堆的Nim游戏 SG函数满足 SG(x) = x。对博弈不是很清楚的请参照http://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6398385.html进行进一步理解。

SG函数:

首先定义mex(minimal excludant)运算,这是施加于一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

对于任意状态 x , 定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c),那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 这样 集合S 的终态必然是空集,所以SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败点P时。

【实例】取石子问题

有1堆n个的石子,每次只能取{ 1, 3, 4 }个石子,先取完石子者胜利,那么各个数的SG值为多少?

SG[0]=0,f[]={1,3,4},

x=1 时,可以取走1 - f{1}个石子,剩余{0}个,所以 SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1;

x=2 时,可以取走2 - f{1}个石子,剩余{1}个,所以 SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0;

x=3 时,可以取走3 - f{1,3}个石子,剩余{2,0}个,所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;

x=4 时,可以取走4-  f{1,3,4}个石子,剩余{3,1,0}个,所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;

x=5 时,可以取走5 - f{1,3,4}个石子,剩余{4,2,1}个,所以SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;

以此类推.....

x        0  1  2  3  4  5  6  7  8....

SG[x]    0  1  0  1  2  3  2  0  1....

由上述实例我们就可以得到SG函数值求解步骤,那么计算1~n的SG函数值步骤如下:

1、使用 数组f 将 可改变当前状态 的方式记录下来。

2、然后我们使用 另一个数组 将当前状态x 的后继状态标记。

3、最后模拟mex运算,也就是我们在标记值中 搜索 未被标记值 的最小值,将其赋值给SG(x)。

4、我们不断的重复 2 - 3 的步骤,就完成了 计算1~n 的函数值。

例题一:

HDU 1536 S-Nim

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1536

题目大意:两个人玩Nim游戏,但是对规则进行了改变,每次只能给定集合A={a1,a2....ak}内的石子个数,问先手是否会胜利。

解题思路:这就可以直接用我们上面的结论了,可以将各堆的SG值当成Nim里的堆来用,异或求出sum=sg(x1)^sg(x2)^.....sg(xn),sum如果不等于0,则先手必胜,反之,必败。这里我把sg函数写成了递推的形式,还有一点,vis[]一定要是bool型!!!否则memset()会超时,原来memset()对bool类型的速度int快那么多,今天才知道。。。

代码:

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 const int N=1e4+5;
 4 int sg[N];//存储各个点的SG值
 5 bool vis[N];//vis一定要是bool型,否则memset会超时,vis[i]=true,表示在集合S内
 6 int s[105];
 7
 8 //sg函数
 9 void sg_solve(int k){
10     memset(sg,0,sizeof(sg));
11     for(int i=0;i<N;i++){
12         memset(vis,false,sizeof(vis));
13         for(int j=1;j<=k;j++){
14             //将能够一步到达的状态的SG值存入集合S
15             if(i-s[j]>=0)
16                 vis[sg[i-s[j]]]=true;
17         }
18         for(int j=0;;j++){
19             if(!vis[j]){
20                 sg[i]=j;
21                 break;
22             }
23         }
24     }
25 }
26
27 int main(){
28     int k;
29     while(~scanf("%d",&k)&&k){
30         for(int i=1;i<=k;i++){
31             scanf("%d",&s[i]);
32         }
33         sg_solve(k);
34         int n;
35         scanf("%d",&n);
36         while(n--){
37             int m,sum=0;
38             scanf("%d",&m);
39             for(int i=1;i<=m;i++){
40                 int x;
41                 scanf("%d",&x);
42                 sum^=sg[x];
43             }
44             if(sum)
45                 printf("W");
46             else
47                 printf("L");
48         }
49         printf("\n");
50     }
51 }

 

时间: 09-03

SG函数的相关文章

TYVJ 2049 魔法珠 sg函数

题意:链接 方法:sg函数 解析: tyvj的题大部分都没题解啊- - 不过这样貌似会更好?感觉做这的题都需要自己动脑啊- - 虽然嘴上说着好烦然而心里觉得好评? 回归正题 设sg[x]表示数x的sg值,这好像是废话 然后对于读入的a[i],将所有的a[i]的sg值异或起来如果不是零则先手赢反之后手 维护的时候有个坑. 每次求约数的时候,数组要在sg里开,因为如果递归下去的话,全局变量的话会被更改,会被坑死. 然后就是怎么维护了 对于x,先求约数 之后枚举哪个数不取,将其他的异或(或者先都异或起

hdu1848 Fibonacci again and again(SG函数博弈)

现在换是看不明白SG函数的求法什么的 暂时先当模板题吧 函数mex1就是求g(x) 然后异或 #include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; int k,fibo[100],f[10001]; int mex1(int p){ int i,t; bool g[101]={0}; for(i=0;i<k;i++){

HDU 2897-邂逅明下(sg函数)

邂逅明下 Time Limit:1000MS     Memory Limit:32768KB     64bit IO Format:%I64d & %I64u Submit Status Practice HDU 2897 Appoint description:  System Crawler  (2015-03-13) Description 当日遇到月,于是有了明.当我遇到了你,便成了侣. 那天,日月相会,我见到了你.而且,大地失去了光辉,你我是否成侣?这注定是个凄美的故事.(以上是废

hdu 1536 S-Nim 博弈论,,求出SG&#39;函数就可以解决

S-Nim Time Limit: 5000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 4975    Accepted Submission(s): 2141 Problem Description Arthur and his sister Caroll have been playing a game called Nim for some time now

算法笔记--sg函数详解及其模板

sg函数大神详解:http://blog.csdn.net/luomingjun12315/article/details/45555495 模板: int f[N],SG[N]; bool S[M]; void getSG(int n) { memset(SG,0,sizeof(SG)); for(int i=1;i<=n;i++) { memset(S,false,sizeof(S)); for(int j=1;f[j]<=i&&j<M;j++) { S[SG[i-f

Nim 游戏、SG 函数、游戏的和

Nim游戏 Nim游戏定义 Nim游戏是组合游戏(Combinatorial Games)的一种,准确来说,属于"Impartial Combinatorial Games"(以下简称ICG).满足以下条件的游戏是ICG(可能不太严谨):1.有两名选手:2.两名选手交替对游戏进行移动(move),每次一步,选手可以在(一般而言)有限的合法移动集合中任选一种进行移动:3.对于游戏的任何一种可能的局面,合法的移动集合只取决于这个局面本身,不取决于轮到哪名选手操作.以前的任何操作.骰子的点数

hdu1847(sg函数&amp;yy)

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1847 题意:中文题诶- 思路:直接sg函数打表即可,观察打表的结果发现是有规律的,sg函数的值只为0, 1, 2,所以我们只需n%3即可得出答案; 回过头来我们可以这样想,对于3的倍数的数,无论如何操作,最后必定会到达3这点,因为每次只能减2的幂,那么显然这种情况下先手会败; 代码: 1 #include <iostream> 2 #include <string.h> 3 #defi

sg函数与博弈论

这个标题是不是看起来很厉害呢... 我们首先来看一个最简单的游戏.比如我现在有一堆石子,有p个,每次可以取走若干个(不能不取),不能取的人就输了. 现在假设有两个人要玩这个游戏,一个人先手,一个人后手,假设两个人都是足够聪明的AI,那么谁会赢? 显然p≠0时先手赢,他只要全部取完就行了... 我们先不管这个游戏有多傻逼,我们看一看这个游戏所隐含的模型. 比如我们把当前游戏局面抽象成一个点,把这个点往每下一步可以到达的新状态连一个边,这样就形成了一个有向无环图.(如果有环这个游戏就不会结束了) 现

poj 2960 S-Nim(SG函数)

S-Nim Time Limit: 2000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 3694   Accepted: 1936 Description Arthur and his sister Caroll have been playing a game called Nim for some time now. Nim is played as follows: The starting position has a number of h